7  Causal y Estacionario

8 Ejemplo 1: AR(2) proceso causal y estacionario

Para un proceso AR(2) con polinomio [ (z) = 1 - 0.2,z - 0.48,z^2, ] calculamos sus raíces y verificamos la condición de causalidad (todas las raíces fuera del círculo unitario, (|z_i|>1)).

rm(list = ls(all=TRUE))

# Coeficientes del polinomio en orden ascendente de grado
coef <- c(1, -0.2, -0.48)

# Calcular raíces
raices <- polyroot(coef)
print(raices)

[1]  1.250000+3.155444e-30i -1.666667-3.155444e-30i

# Módulos de las raíces
modulos_raices <- Mod(raices)

# Verificar causalidad
if (all(modulos_raices > 1)) {
  print("El proceso AR(2) es causal.")
} else {
  print("El proceso AR(2) no es causal.")
}

[1] "El proceso AR(2) es causal."

Interpretación: si todas las raíces satisfacen (|z_i|>1), el proceso es causal y estacionario.

# Diagrama de Argand (plano complejo)
par(mfrow = c(1,1))
plot(0, 0, type="n", xlim=c(-2,2), ylim=c(-2,2),
     xlab="Parte real", ylab="Parte imaginaria",
     main="Diagrama de Argand para las raíces")
points(Re(raices), Im(raices), col="blue", pch=19)

# Círculo unitario
theta <- seq(0, 2*pi, length.out = 100)
lines(cos(theta), sin(theta), col="gray")

9 Ejemplo 2: AR(2) proceso estacionario pero no causal

Punteros del polinomio: [ (z) = 1 + 1.5,z - 0.75,z^2. ]

# Coeficientes
coef <- c(1, 1.5, -0.75)

# Calcular raíces y módulos
raices <- polyroot(coef)
print(raices)

[1] -0.5275252+0i  2.5275252+0i

modulos_raices <- Mod(raices)

# Verificar causalidad
if (all(modulos_raices > 1)) {
  print("El proceso AR(2) es causal.")
} else {
  print("El proceso AR(2) no es causal.")
}

[1] "El proceso AR(2) no es causal."

10 Ejemplo 3: AR(1) proceso causal y estacionario

Para AR(1): [ (z) = 1 - 0.8,z. ]

# Coeficientes
coef <- c(1, -0.8)

# Calcular raíces y módulos
raices <- polyroot(coef)
print(raices)

[1] 1.25+0i

modulos_raices <- Mod(raices)

# Verificar causalidad
if (all(modulos_raices > 1)) {
  print("El proceso AR(1) es causal.")
} else {
  print("El proceso AR(1) no es causal.")
}

[1] "El proceso AR(1) es causal."