9 MEE - Filtro Kalman

Author

Brayan Cubides

9.1 Descripción del código

En este ejemplo usamos el paquete dlm para ajustar un proceso AR(1) en formato espacio-estado, estimar sus parámetros por Máxima Verosimilitud (MEE) y recuperar los estados no observados mediante el filtro y suavizador de Kalman.

Según las notas de clase, un modelo de espacio-estado se escribe como:
\[ \begin{aligned} y_t &= Z\,\omega_t + \varepsilon_t, \quad \varepsilon_t \sim N(0,H),\\ \omega_{t+1} &= T\,\omega_t + \eta_t, \quad \eta_t \sim N(0,Q). \end{aligned} \] El filtro de Kalman calcula recursivamente el estimador de $\omega_t$ que minimiza el error cuadrático medio usando solo la información disponible hasta $t$. El suavizador utiliza toda la muestra hasta $T$.

9.1.1 1. Instalación y carga del paquete

Uso práctico: dlm facilita la formulación y ajuste de modelos de espacio-estado con ARMA en transición y observación.

9.1.2 2. Definición del modelo AR(1) en espacio-estado

phi_inicial    <- 0.5
sigma2_inicial <- 1
modAR1 <- dlmModARMA(ar = phi_inicial, ma = NULL, sigma2 = sigma2_inicial)

Aquí dlmModARMA construye matrices $T,\,Z,\,Q,\,H$ internas que representan el AR(1): \[ \omega_{t+1} = \phi\,\omega_t + \eta_t,\quad y_t = \omega_t + \varepsilon_t. \]

9.1.3 3. Simulación de datos

set.seed(123)
sim_data <- arima.sim(model = list(ar = phi_inicial), n = 100,
                      sd = sqrt(sigma2_inicial))
acf(sim_data)

pacf(sim_data)

La ACF decae exponencialmente, consistente con un AR(1).

9.1.4 4. Función de construcción para MEE

build_mod <- function(par) {
  dlmModARMA(ar = par[1], ma = NULL, sigma2 = par[2])
}

Esta función será llamada por el optimizador de verosimilitud para proponer nuevos parámetros $\phi$ y $\sigma^2$.

9.1.5 5. Estimación por Máxima Verosimilitud (MEE)

fit <- dlmMLE(sim_data, parm = c(phi_inicial, sigma2_inicial),
              build = build_mod)

dlmMLE maximiza la función de verosimilitud evaluada con el filtro de Kalman.

9.1.6 6. Extracción del modelo ajustado

mod_est <- build_mod(fit$par)
print(mod_est)

$FF
     [,1]
[1,]    1

$V
     [,1]
[1,]    0

$GG
          [,1]
[1,] 0.4910977

$W
          [,1]
[1,] 0.8043823

$m0
[1] 0

$C0
      [,1]
[1,] 1e+07

Aquí vemos las matrices ajustadas y las varianzas estimadas.

9.1.7 7. Filtro y suavizador de Kalman

# Filtro recursivo hasta t
filt   <- dlmFilter(sim_data, mod_est)
# Suavizador usando toda la muestra
states <- dlmSmooth(filt)

filt$m contiene $\hat\omega_{t|t-1}$ (estimación “a priori”).
states$s contiene $\hat\omega_{t|T}$ (suavizado “a posteriori”).

9.1.8 8. Visualización de estados

# Estados filtrados en línea continua
plot(sim_data, type="l", col="blue",
     main="Datos simulados y estados filtrados")
lines(filt$m,   col="red",  lty=2)
legend("topright",
       legend=c("Datos simulados","Estados filtrados"),
       col=c("blue","red"), lty=1:2)

# Estados suavizados en línea punteada
plot(sim_data, type="l", col="blue",
     main="Datos simulados y estados suavizados")
lines(states$s, col="red",  lty=2)
legend("topright",
       legend=c("Simulación","Estados suavizados"),
       col=c("blue","red"), lty=1:2)

9.2 Interpretaciones y usos

Máxima Verosimilitud (MEE): el filtro de Kalman calcula la verosimilitud del espacio-estado, permitiendo estimar $\phi$ y $\sigma^2$ eficientemente.
Filtro de Kalman: recupera la trayectoria latente $\omega_t$, útil para detectar cambios en la dinámica subyacente (e.g., en volatilidad o tendencia).
Suavizado: produce estimaciones más estables de $\omega_t$ usando toda la información, ideal para análisis retrospectivo de anomalías.
Extensión: la misma estructura admite modelos ARMA(p,q), componentes estacionales SARIMA en transición, y variables exógenas agregando estados.

Estas herramientas son fundamentales en series de tiempo estructurales y pronósticos en contextos económicos, financieros o de control.

--- title: "MEE - Filtro Kalman" author: "Brayan Cubides" toc: true toc-location: right toc-depth: 2 #number-sections: true code-tools: true lightbox: true self-contained: false --- ## Descripción del código En este ejemplo usamos el paquete **dlm** para ajustar un proceso AR(1) en formato espacio-estado, estimar sus parámetros por Máxima Verosimilitud (MEE) y recuperar los estados no observados mediante el filtro y suavizador de Kalman. Según las notas de clase, un modelo de espacio-estado se escribe como:\ $$ \begin{aligned} y_t &= Z\,\omega_t + \varepsilon_t, \quad \varepsilon_t \sim N(0,H),\\ \omega_{t+1} &= T\,\omega_t + \eta_t, \quad \eta_t \sim N(0,Q). \end{aligned} $$ El filtro de Kalman calcula recursivamente el estimador de $\omega_t$ que minimiza el error cuadrático medio usando solo la información disponible hasta $t$. El suavizador utiliza toda la muestra hasta $T$. ------------------------------------------------------------------------ ### 1. Instalación y carga del paquete ```{r, include=FALSE} library(dlm) ``` **Uso práctico:** `dlm` facilita la formulación y ajuste de modelos de espacio-estado con ARMA en transición y observación. ------------------------------------------------------------------------ ### 2. Definición del modelo AR(1) en espacio-estado ```{r, fig.width=20, fig.height=5, out.width="100%"} phi_inicial <- 0.5 sigma2_inicial <- 1 modAR1 <- dlmModARMA(ar = phi_inicial, ma = NULL, sigma2 = sigma2_inicial) ``` Aquí `dlmModARMA` construye matrices $T,\,Z,\,Q,\,H$ internas que representan el AR(1): $$ \omega_{t+1} = \phi\,\omega_t + \eta_t,\quad y_t = \omega_t + \varepsilon_t. $$ ------------------------------------------------------------------------ ### 3. Simulación de datos ```{r, fig.width=20, fig.height=5, out.width="100%"} set.seed(123) sim_data <- arima.sim(model = list(ar = phi_inicial), n = 100, sd = sqrt(sigma2_inicial)) acf(sim_data) pacf(sim_data) ``` La ACF decae exponencialmente, consistente con un AR(1). ------------------------------------------------------------------------ ### 4. Función de construcción para MEE ```{r, fig.width=20, fig.height=5, out.width="100%"} build_mod <- function(par) { dlmModARMA(ar = par[1], ma = NULL, sigma2 = par[2]) } ``` Esta función será llamada por el optimizador de verosimilitud para proponer nuevos parámetros $\phi$ y $\sigma^2$. ------------------------------------------------------------------------ ### 5. Estimación por Máxima Verosimilitud (MEE) ```{r, fig.width=20, fig.height=5, out.width="100%"} fit <- dlmMLE(sim_data, parm = c(phi_inicial, sigma2_inicial), build = build_mod) ``` `dlmMLE` maximiza la función de verosimilitud evaluada con el filtro de Kalman. ------------------------------------------------------------------------ ### 6. Extracción del modelo ajustado ```{r, fig.width=20, fig.height=5, out.width="100%"} mod_est <- build_mod(fit$par) print(mod_est) ``` Aquí vemos las matrices ajustadas y las varianzas estimadas. ------------------------------------------------------------------------ ### 7. Filtro y suavizador de Kalman ```{r, fig.width=20, fig.height=5, out.width="100%"} # Filtro recursivo hasta t filt <- dlmFilter(sim_data, mod_est) # Suavizador usando toda la muestra states <- dlmSmooth(filt) ``` - `filt$m` contiene $\hat\omega_{t|t-1}$ (estimación “a priori”).\ - `states$s` contiene $\hat\omega_{t|T}$ (suavizado “a posteriori”). ------------------------------------------------------------------------ ### 8. Visualización de estados ```{r, fig.width=20, fig.height=5, out.width="100%"} # Estados filtrados en línea continua plot(sim_data, type="l", col="blue", main="Datos simulados y estados filtrados") lines(filt$m, col="red", lty=2) legend("topright", legend=c("Datos simulados","Estados filtrados"), col=c("blue","red"), lty=1:2) # Estados suavizados en línea punteada plot(sim_data, type="l", col="blue", main="Datos simulados y estados suavizados") lines(states$s, col="red", lty=2) legend("topright", legend=c("Simulación","Estados suavizados"), col=c("blue","red"), lty=1:2) ``` ------------------------------------------------------------------------ ## Interpretaciones y usos - **Máxima Verosimilitud (MEE):** el filtro de Kalman calcula la verosimilitud del espacio-estado, permitiendo estimar $\phi$ y $\sigma^2$ eficientemente.\ - **Filtro de Kalman:** recupera la trayectoria latente $\omega_t$, útil para detectar cambios en la dinámica subyacente (e.g., en volatilidad o tendencia).\ - **Suavizado:** produce estimaciones más estables de $\omega_t$ usando toda la información, ideal para análisis retrospectivo de anomalías.\ - **Extensión:** la misma estructura admite modelos ARMA(p,q), componentes estacionales SARIMA en transición, y variables exógenas agregando estados. Estas herramientas son fundamentales en series de tiempo estructurales y pronósticos en contextos económicos, financieros o de control.